गणितकौमुदी-भद्रगणितम् - मुखपंक्ती, क्षेपफल - मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 

गणितकौमुदी-भद्रगणितम् - मुखपंक्ती, क्षेपफल - मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 मुखपङ्क्ते: पूर्वदलपरदलयो:क्षेपौ शून्यं प्रथमदलस्थानद्वये प्रक्षिप्य जाताश्चरणादय: १।५।१२।१६ अथवैतौ प्राग्वत् प्रक्षिप्य जाताश्चरणादय: २।६।११।१५

द्वितीयोदाहरणे फलम् ६४ मुखपङ्क्ति: सैव १।५।९।१३ क्षेपफलम् ३० अत्र गच्छ: ८ शून्यादिक्षेपफलादि ०।१५ स्वमृणमेकोत्तरेण न्यस्ते जातम् ०।१५, १।१४,२।१३,३।१२,४।११,५।१०,६।९,७।८ प्राग्वन्मुखपङ्क्तौ प्रक्षिप्य जाताश्चरणादय: ।

एवमनेकधा । सर्वाणि भद्राणि चतुर्भद्रात् सिद्ध्यन्ति ।

।१।५।२४।२८।

।२।६।२३।२७।

।३।७।२२।२६।

।४।८।२१।२५।

।५।९।२०।२४।

।६।१०।१९।२३।

।७।११।१८।२२।

।८।१२।१७।२१।


 तत: ( मु+१) + (मु'-१)=मु+मु'

=(मु+२) + ( मु'-२)

=(मु+३) +(मु'-३)

=...

गच्छस्थानमित:, इति सर्वमुपपद्यते ।

गच्छमानं तु (क्षे/२)(फ/ज) अत्र निरग्रलब्धेन सैकेन सममिति सफुट

When the order of the magic square is divided by 4, if the remainder r = 0, then it is samagarbha; if r = 2, then it is visamagarbha; and if r = 3 or 1, then it is visama.

( Ganitakaumudı 14.2)

६ - ३६१, ७ -३६२,८-३६३,९-३६४,१० -३६५- ३६६,११-३६७,१२-३६८,१३-३६९,१४- ३७०,१५-३७१,१६-३७२,17-373,18-374,19-375,20-376,21-377,22-378,  २३-३७९

२४-३८०,२५-३८१,२६-३८२

🗣️ मराठी भाषांतर व विश्लेषण

🔹 मुखपंक्ती आणि क्षेप

“मुखपंक्तीतील पूर्व व पर दलांमध्ये क्षेप शून्य असेल, आणि प्रथम दोन स्थानांमध्ये ती पंक्ती प्रक्षिपली गेली, तर चरणसंख्या होते: १, ५, १२, १६ किंवा पूर्ववतच प्रक्षिपण केल्यास: २, ६, ११, १५”

🔍 इथे ‘मुखपंक्ती’ म्हणजे एक मूलभूत संख्यात्मक रचना—जसे १, ५, ९, १३—ज्याच्या विशिष्ट स्थानांवर प्रक्षेपण (insertion) करून चरणसंख्या तयार होते.

🔹 द्वितीय उदाहरण

“फल = ६४ मुखपंक्ती: १, ५, ९, १३ क्षेपफल = ३० गच्छ = ८ शून्यादिक्षेपफलादि = ०, १५ स्वमृणमेकोत्तराने रचना: ०।१५, १।१४, २।१३, ३।१२, ४।११, ५।१०, ६।९, ७।८ हीच मुखपंक्ती वापरून प्रक्षिपण केल्यास चरणसंख्या तयार होते.”

🔍 ‘गच्छ’ म्हणजे संख्यांमधील अंतर किंवा टप्पा. इथे ऋणैकोत्तर व धनैकोत्तर जोडून एक समतोल रचना तयार होते.

🔹 भद्र रचना आणि चतुर्भद्र सिद्धी

“अनेक प्रकारे हे रचनात्मक प्रक्षेपण करता येते. सर्व रचना ‘भद्र’ आहेत—अर्थात शुभ, समतोल. आणि त्या चतुर्भद्रातून सिद्ध होतात.”

उदाहरणार्थ:

भद्र रचना
१।५।२४।२८
२।६।२३।२७
३।७।२२।२६
४।८।२१।२५
५।९।२०।२४
६।१०।१९।२३
७।११।१८।२२
८।१२।१७।२१

🔍 या सर्व रचना एक विशिष्ट गच्छमान आणि क्षेपफलाच्या आधारावर समतोलपणे तयार झाल्या आहेत.

🔹 गच्छमानाचे सूत्र

“तद्नंतर: (मु + १) + (मु′ − १) = मु + मु′ (मु + २) + (मु′ − २) = मु + मु′ (मु + ३) + (मु′ − ३) = मु + मु′ ... गच्छस्थानमितीने हे सर्व उपपन्न होते.”

🔍 हे दाखवते की प्रत्येक जोडलेली जोडी एकच योग देते—मु + मु′—जे क्षेपफलाच्या विश्लेषणातून सिद्ध होते.

🔹 गच्छमानाचे अंतिम सूत्र

“गच्छमान = (क्षेप / २) × (फल / चरणसंख्या) आणि जर निरग्रह (शेषशून्य) प्राप्त झाला, तर ते सैकेन समम (पूर्ण समतोल) ठरते.”

When the order of the magic square is divided by 4, if the remainder r = 0, then it is samagarbha; if r = 2, then it is visamagarbha; and if r = 3 or 1, then it is visama.

( Ganitakaumudı 14.2)

६ - ३६१, ७ -३६२,८-३६३,९-३६४,१० -३६५- ३६६,११-३६७,१२-३६८,१३-३६९,१४- ३७०,१५-३७१,१६-३७२,17-373,18-374,19-375,20-376,21-377,22-378,  २३-३७९

२४-३८०,२५-३८१,२६-३८२ 

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Narayan Pandit-Folding Method for Magic Square - AI Comments

  Narayan Pandit-Folding Method for Magic Square - AI Comments   In 1938, Rosser and Walker proved that this is in fact the exact number of 4x4 pan-diagonal magic squares with entries 1, 2, ..., 16.  Vijayaraghavan (1941) gave a much simpler proof of this result, which have been outlined by Sridharan and Srinivas (2011, pp.389-391),  Narayana goes on to discuss general methods of construction of magic squares depending upon whether the square is  samagarbha  (doubly-even),  visamagarbha  (singly-even) or  visama  (odd). In the case of  samagarbha  and  visama  squares, apart from discussing the traditionally well-known methods of construction (indicated for instance in Pheru's work earlier),  Narayana presents an entirely new method known as  samputa-vidhi  (method of folding). This is a general method of construction of magic squares by composing or folding two magic squares constructed suitably Naraya...
Read more

भद्रगणितम् - Magic squares- Introduction - एआय विश्लेषण

  भद्रगणितम् - Magic squares- Introduction - एआय विश्लेषण Introduction   Classification of Magic squares   Purpose of studying (as stated by Narayana)   Kacchaputa of N̄agarjuna (c.100 BCE)   Sarvatobhadra of Varahamihira (550 CE)   TheTuraga gati method of obtaining magic squares   Possible no.of 4×4 PD squares (with elements1,2...16)?    Ancient Indian method for odd squares   Kuttaka and magic squares   Properties of 4×4 magic squares   Construction of magic squares using these properties     Introduction Background and Relevance  Today there is a lot of discussion going on all around the world to see how to make mathematics learning more interesting.   As far as arithmetic is concerned, certainly one way to make it interesting is to introduce the topic of Magic Squares—called Bhadra-ganita in Indian Mathematics.   The nomenclatures terms from the fact it was considered to fetch bhadra—all round pros...
Read more

Narayan Pandit -General Algebraic framework - AI commented

  Narayan Pandit -General Algebraic framework - AI commented  We shall now see how the examples given by Narayana are particular instances of the above result. If we set  n =  4 and choose p(0) = 2, p(1) = 1, p(2) = 3, p(3) = 4, q(0) = 3, q(1) = 2, q(2) = 0 and q(3) = 1, we see that the conditions (6a) and (6b) are satisfied. The resultant 4x4 array S as defined by (5a) will be which is same as the  chadya  square considered by Narayana as shown in Fig. 1. The array 4x4 array 4T as defined by (5b) is given by which is nothing but the  chadaka  square considered by Narayana as shown in Fig. 1, except that the order of columns is reversed. Thus the composition S+4T is nothing but the folding process of Narayana as shown in Fig. 2 and leads to the pan-diagonal 4x4 magic square as shown in the Figure. In the same way, if we set  n =  8 and choose p(0) = 4, p(1) = 3, p(2) = 2, p(3) = 1, p(4) =  5, p(5) =  6, p(6) = '7,  p('7)=...
Read more