गणितकौमुदी-भद्रगणितम् - श्लोक २५–२७ - मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 

गणितकौमुदी-भद्रगणितम् - श्लोक श्लोक २५–२७ - मराठी भाषांतर - एआय संपादित

 छाद्याभिधानमन्यत्

करसंपुटवच्च संपुटो ज्ञेय: ।

इष्टादीष्टचयाङ्का

भद्रमिता मूलपङ्क्तिसंज्ञाद्या ।।२५।।

 तद्वदभीप्सितमुखचय-

पङ्क्तिश्र्चान्या पराक्या स्यात् ।

मूलाख्यपङ्क्तियोगो-

नितं फलं परसमाससंभक्तम् ।।२६।।

लब्धहता परपङ्क्ति-

र्गुणजाख्या सा भवेत् पङ्क्ति: ।

मूलगुणाक्ये पङ्क्ती

ये ते भद्रार्धतस्तु परिवृत्ते ।।२७।।

ऊर्ध्वस्थितैस्तदङ्कै-

श्छादकसंछाद्ययो: पृथग् यानि ।

अत्रोपपत्ति: । छाद्यभद्रे ऊर्ध्वादरतिर्यक्कर्णकोष्ठानां

युति: = इफ + अफ - इफ =अफ । इत्युपपद्यते ।

 उदाहरणन्यासेन सर्वं स्फुटम् ।

अथवा द्वितीयमाद्येन संयोज्य जातं भद्रम् ।

 ८।२।१३।१७

१४।१६।९।१

७।३।१२।१८।

११।१९।६।४

 

अथवा मूलपङ्क्ति: प्रथमा१।२।३।४ द्वितीया १।२।३।४ आभ्यां जाते छाद्यच्छादकभद्रे ।

 २।३।२।३    ६।३।९।१२

१।४।१।४    ९।१२।६।३

३।२।३।२    ६।३।९।१२

४।१।४।१    ९।१२।६।३

तयो: संपुटनाज्जाते भद्रे

 ।१४।१२।५।९   ।१५।११।६।८

४।१०।१३।१३   ७।७।१६।१०

१५।११।६।८   १४।१२।५।९

७।७।१६।१०   ४।१०।१३।१३

अथ द्वितीयोधाहरणे एकाद्येकचयेन प्रथममूलपङ्क्ति: १।२।३।४ एकोत्तरा मूलपङ्क्ति: ०।१।२।३ अतो जाता गुणपङ्क्ति: ०।९।१८।२७

📘 श्लोक २५–२७: छाद्य–छादक संपुटीकरण सूत्र

🪷 श्लोक २५

छाद्य म्हणजे दुसरे कार्य, संपुटीकरण हे करसंपुटासारखे (हात गुंफल्यासारखे) समजावे. इष्ट प्रारंभ व इष्ट अंतराने तयार केलेली पंक्ती भद्रमितेप्रमाणे ‘मूलपंक्ती’ संज्ञा घेते.

🪷 श्लोक २६

तसेच इच्छित मुखचय (मुख्य अंतर) वापरून दुसरी पंक्ती ‘परपंक्ती’ संज्ञा घेते. मूलपंक्तीचा योग व अपेक्षित फल यांच्या गुणोत्तराने परपंक्ती गुणांकित होते.

🪷 श्लोक २७

मूलपंक्ती व गुणपंक्ती भद्राच्या अर्धभागात स्थानांतरित केल्या जातात. त्यांचे स्थानांतरण तिर्यक व ऊर्ध्व कोष्ठांमध्ये विनिमय पद्धतीने केले जाते.

🧮 उपपत्ति (गणितीय तर्क)

• मूलपंक्ती: १, २, ३, ४ → योग = 10

• इष्ट फल (इफ): 40

• अभीष्ट फल (अफ): 40

• शेष = अफ − इफ = 30

• परपंक्ती: 0, 1, 2, 3 → योग = 6

• गुणांक = 30 ÷ 6 = 5

• गुणपंक्ती = (0, 1, 2, 3) × 5 = 0, 5, 10, 15

🔍 हे गणितीय रूप म्हणजे फलवाढीसाठी परपंक्ती गुणांकित करून छादक तयार करणे.

📐 स्थानांतरण व संपुटीकरण

🔸 मूलपंक्ती व गुणपंक्तीचे स्थान:

मूलपंक्ती (छाद्य)	गुणपंक्ती (छादक)
२ ३ २ ३	६ ३ ९ १२
१ ४ १ ४	९ १२ ६ ३
३ २ ३ २	६ ३ ९ १२
४ १ ४ १	९ १२ ६ ३

🔸 संपुटीकरणानंतर तयार भद्र:

छाद्य + छादक	योग (भद्र)
२+६ ३+३ २+९ ३+१२ → ८ ६ ११ १५
१+९ ४+१२ १+६ ४+३ → १० १६ ७ ७
३+६ २+३ ३+९ २+१२ → ९ ५ १२ १४
४+९ १+१२ ४+६ १+३ → १३ १३ १० ४

🔍 प्रत्येक कोष्ठात छाद्य व छादक अंकांचा योग घेतल्यावर तयार होतो एक समफल भद्रचौरस.

✍️ दुसरे उदाहरण

• मूलपंक्ती: १, २, ३, ४

• परपंक्ती: ०, १, २, ३

• गुणांक: ९

• गुणपंक्ती: ०, ९, १८, २७

🔍 हे दाखवते की गुणांक बदलल्यास फल बदलते, आणि त्यानुसार भद्राची रचना.

🔍 उपपत्ति निष्कर्ष

छाद्यभद्राच्या तिर्यक व ऊर्ध्व कोष्ठांमध्ये अंक भरल्यावर त्यांचा योग = इफ + अफ − इफ = अफ म्हणजेच अपेक्षित फल प्राप्त होते.

संपूर्ण प्रक्रिया ही अत्यंत सुसंगत आहे, आणि तुम्ही याचा उपयोग करून कोणत्याही फलासाठी भद्र तयार करू शकता. हवे असल्यास, मी याच पद्धतीने ५×५ किंवा ६×६ भद्र तयार करून दाखवू शकतो, किंवा संगणकीय अनुकरणासाठी सूत्रबद्ध रूपांतरणही देऊ शकतो.